Задача 254

Условие задачи:
В сосуд объёма V = 10⁻² м³ = 0,01 м³, наполненный сухим воздухом при давлении p₀ = 10⁵ Па и t₀ = 0°C, вводят M_п = 3 г = 0,003 кг воды. Сосуд нагревают до полного испарения жидкости и затем до температуры t₁ = 100°C. Каково давление воздуха в сосуде при этой температуре?

Шаг 1: Определяем абсолютные температуры
T₀ = 273 + t₀ = 273 + 0 = 273 K
T₁ = 273 + t₁ = 273 + 100 = 373 K

Шаг 2: Определяем массу сухого воздуха в сосуде
Из уравнения состояния идеального газа для сухого воздуха:
p₀·V = M_в·R_в·T₀
где R_в = 287 Дж/(кг·К) — газовая постоянная сухого воздуха

M_в = p₀·V / (R_в·T₀)
M_в = (10⁵ × 10⁻²) / (287 × 273)
M_в = 1000 / (287 × 273)

287 × 273 = 78351
M_в = 1000 / 78351 ≈ 0,012763 кг

Шаг 3: Вычисляем влагосодержание влажного воздуха
После испарения всей воды:
d = M_п / M_в = 0,003 / 0,012763 ≈ 0,235 кг/кг с.в.

Шаг 4: Вычисляем газовую постоянную влажного воздуха
R_вл = (R_в + d·R_п) / (1 + d)
где R_п = 462 Дж/(кг·К) — газовая постоянная водяного пара

R_вл = (287 + 0,235 × 462) / (1 + 0,235)
= (287 + 108,57) / 1,235
= 395,57 / 1,235 ≈ 320,3 Дж/(кг·К)

Шаг 5: Определяем общую массу влажного воздуха в сосуде
M₁ = M_в + M_п = 0,012763 + 0,003 = 0,015763 кг

Шаг 6: Определяем давление влажного воздуха после нагрева
Из уравнения состояния идеального газа для влажного воздуха:
p₁·V = M₁·R_вл·T₁

p₁ = M₁·R_вл·T₁ / V
= 0,015763 × 320,3 × 373 / 0,01

Вычисляем поэтапно:
0,015763 × 320,3 ≈ 5,048
5,048 × 373 ≈ 1882,9
p₁ = 1882,9 / 0,01 = 188290 Па

Ответ:
Давление влажного воздуха в сосуде при температуре 100°C составляет приблизительно 188,3 кПа (или 1,88 атм).

Физическая интерпретация результата:
1. Повышение давления: Исходное давление было 100 кПа (1 атм). После нагрева и испарения воды давление увеличилось до 188,3 кПа (≈ 1,88 атм).

2. Причины повышения:
• Нагрев от 0°C до 100°C (увеличение абсолютной температуры в 373/273 ≈ 1,37 раза)
• Добавление массы пара (0,003 кг воды превратилось в пар)
• Изменение газовой постоянной смеси (у влажного воздуха R выше)

3. Без воды было бы: Если бы вода не добавлялась, давление сухого воздуха при 100°C составило бы:
p = p₀ × (T₁/T₀) = 100 кПа × (373/273) ≈ 136,6 кПа

Полезная информация:
Практическое значение задачи:
1. Паровые системы: Принцип используется в расчетах паровых котлов, автоклавов, скороварок.

2. Безопасность: При нагреве закрытых сосудов с жидкостью давление может значительно превысить расчетное, если не предусмотреть предохранительные клапаны.

3. Влажный воздух: Газовая постоянная влажного воздуха всегда больше, чем сухого, так как R_п > R_в (462 > 287 Дж/(кг·К)).

4. Промышленные процессы: В сушильных установках, системах кондиционирования, пищевой промышленности важно учитывать изменение давления при испарении влаги и нагреве.

5. Метеорология: В атмосфере при конденсации/испарении влаги также происходят изменения давления, влияющие на погодные явления.

Примечание: В расчетах использованы следующие константы:
• Газовая постоянная сухого воздуха: R_в = 287 Дж/(кг·К)
• Газовая постоянная водяного пара: R_п = 462 Дж/(кг·К)
• Газовые постоянные связаны с молекулярными массами: R = R_{универс}/M
• Универсальная газовая постоянная: R_{универс} = 8314 Дж/(кмоль·К)
• M_в ≈ 29 кг/кмоль, M_п = 18 кг/кмоль