Задача 259
Условие задачи: По заданным исходным параметрам рабочего тела (смеси идеальных газов) для заданного прямого цикла определить:
1 Газовую постоянную, молекулярную массу и теплоемкость рабочего тела.
2 Параметры и функции состояния (p,V,T,h,u,s) в характерных точках цикла. Энтропию определить относительно состояния при нормальных физических условиях (Т0=273 К, р0=0,101 МПа)
3 Работу, количество подведенной и отведенной теплоты, изменение внутренней энергии, энтальпии и энтропии на 1 кг рабочего тела в каждом процессе.
4 Работу цикла, количество подведенной и отведенной теплоты на 1 кг рабочего тела в цикле, термический к.п.д. цикла.
5 К.п.д. цикла Карно, имеющего одинаковые с расчетным циклом максимальные и минимальные значения температуры.
Построить цикл в p-V и T- s координатах. Для построения кривых каждый процесс должен быть построен по двум промежуточным точкам. Расчеты свести в таблицу. Теплоемкость считать постоянной.
Исходные данные:
Состав смеси идеальных газов: GCО2=3, 94кг; GN2=18, 75кг; GH2О=0, 805 кг;
p1=0,1 МПа; t1=27°С; p2=0,8 МПа; q23=620 кДж/кг.
Схема цикла
Термодинамический цикл смеси газов
Полный расчёт параметров цикла смеси CO₂, N₂ и H₂O
Условие задачи
По заданным исходным параметрам рабочего тела (смеси идеальных газов) для заданного прямого цикла определить:
- Газовую постоянную, молекулярную массу и теплоемкость рабочего тела
- Параметры и функции состояния (p, v, T, h, u, s) в характерных точках цикла
- Работу, количество подведенной и отведенной теплоты, изменение внутренней энергии, энтальпии и энтропии в каждом процессе
- Работу цикла, количество подведенной и отведенной теплоты в цикле, термический к.п.д. цикла
- К.п.д. цикла Карно для того же диапазона температур
Состав смеси
G_CO₂ = 3,94 кг
G_N₂ = 18,75 кг
G_H₂O = 0,805 кг
Давление p₁
0,1 МПа
Температура t₁
27 °C
Давление p₂
0,8 МПа
Теплота процесса 2-3
620 кДж/кг
1. Исходные данные компонентов
CO₂: μ₁ = 44,0079 кг/кмоль; Cₚ₁ = 817,3 Дж/кг·К
N₂: μ₂ = 28,0134 кг/кмоль; Cₚ₂ = 1038,7 Дж/кг·К
H₂O: μ₃ = 18,0140 кг/кмоль; Cₚ₃ = 1860,6 Дж/кг·К
Универсальная газовая постоянная: R = 8314 Дж/кмоль·К
2. Газовые постоянные компонентов
R₁ = R/μ₁ = 8314/44,0079 = 188,9 Дж/кг·К
R₂ = R/μ₂ = 8314/28,0134 = 296,8 Дж/кг·К
R₃ = R/μ₃ = 8314/18,0140 = 461,5 Дж/кг·К
3. Массовые доли компонентов
Общая масса смеси: G = 3,94 + 18,75 + 0,805 = 23,495 кг
Массовая доля CO₂:
g₁ = 3,94/23,495 = 0,1677
g₁ = 3,94/23,495 = 0,1677
Массовая доля N₂:
g₂ = 18,75/23,495 = 0,7980
g₂ = 18,75/23,495 = 0,7980
Массовая доля H₂O:
g₃ = 0,805/23,495 = 0,0343
g₃ = 0,805/23,495 = 0,0343
4. Свойства смеси
R_см = Σ(gᵢ·Rᵢ) = 0,1677·188,9 + 0,7980·296,8 + 0,0343·461,5
R_см = 31,68 + 236,85 + 15,83 = 284,36 ≈ 284,4 Дж/кг·К
Cₚ_см = Σ(gᵢ·Cₚᵢ) = 0,1677·817,3 + 0,7980·1038,7 + 0,0343·1860,6
Cₚ_см = 137,06 + 828,88 + 63,82 = 1029,76 ≈ 1030 Дж/кг·К
Cᵥ_см = Cₚ_см – R_см = 1030 – 284,4 = 745,6 Дж/кг·К
κ = Cₚ_см / Cᵥ_см = 1030 / 745,6 = 1,382
μ_см = 1/Σ(gᵢ/μᵢ) = 1/(0,1677/44,0079 + 0,7980/28,0134 + 0,0343/18,0140)
μ_см = 1/0,0352 = 28,41 кг/кмоль
5. Определение типа цикла и параметров точек
Исходя из задачи с q₂₃ = 620 кДж/кг, предполагаем цикл, состоящий из:
1-2: Изотермическое сжатие (T₁ = T₂)
2-3: Изобарный подвод тепла (p₂ = p₃ = 0,8 МПа)
3-4: Адиабатное расширение
4-1: Изобарный отвод тепла (p₄ = p₁ = 0,1 МПа)
2-3: Изобарный подвод тепла (p₂ = p₃ = 0,8 МПа)
3-4: Адиабатное расширение
4-1: Изобарный отвод тепла (p₄ = p₁ = 0,1 МПа)
Расчёт параметров в характерных точках
Точка 1
T₁ = 27°C + 273 = 300 К
p₁ = 0,1 МПа = 100000 Па
v₁ = (R_см·T₁)/p₁ = (284,4·300)/100000
v₁ = 85320/100000 = 0,8532 м³/кг
Точка 2 (конец изотермического сжатия)
T₂ = T₁ = 300 К (изотермический процесс)
p₂ = 0,8 МПа = 800000 Па
v₂ = (R_см·T₂)/p₂ = (284,4·300)/800000
v₂ = 85320/800000 = 0,10665 м³/кг
Точка 3 (после изобарного подвода тепла)
p₃ = p₂ = 0,8 МПа = 800000 Па
q₂₃ = Cₚ_см·(T₃ – T₂) = 620000 Дж/кг
T₃ = T₂ + q₂₃/Cₚ_см = 300 + 620000/1030
T₃ = 300 + 601,94 = 901,94 ≈ 902 К
v₃ = (R_см·T₃)/p₃ = (284,4·902)/800000
v₃ = 256528,8/800000 = 0,32066 м³/кг
Точка 4 (после адиабатного расширения)
p₄ = p₁ = 0,1 МПа = 100000 Па
Для адиабаты: T₃·v₃^(κ-1) = T₄·v₄^(κ-1)
и p₃·v₃^κ = p₄·v₄^κ
v₄ = v₃·(p₃/p₄)^(1/κ) = 0,32066·(0,8/0,1)^(1/1,382)
v₄ = 0,32066·8^(0,7236) = 0,32066·4,324 = 1,386 м³/кг
T₄ = (p₄·v₄)/R_см = (100000·1,386)/284,4
T₄ = 138600/284,4 = 487,3 К
Параметры в характерных точках цикла
Точка 1
T₁:
300 К
300 К
p₁:
0,1 МПа
0,1 МПа
v₁:
0,8532 м³/кг
0,8532 м³/кг
Точка 2
T₂:
300 К
300 К
p₂:
0,8 МПа
0,8 МПа
v₂:
0,1067 м³/кг
0,1067 м³/кг
Точка 3
T₃:
902 К
902 К
p₃:
0,8 МПа
0,8 МПа
v₃:
0,3207 м³/кг
0,3207 м³/кг
Точка 4
T₄:
487,3 К
487,3 К
p₄:
0,1 МПа
0,1 МПа
v₄:
1,386 м³/кг
1,386 м³/кг
Расчёт процессов цикла
Процесс 1-2: Изотермическое сжатие
Δu₁₂ = Cᵥ_см·(T₂ – T₁) = 745,6·0 = 0 Дж/кг
Δh₁₂ = Cₚ_см·(T₂ – T₁) = 1030·0 = 0 Дж/кг
Δs₁₂ = R_см·ln(p₁/p₂) = 284,4·ln(0,1/0,8)
Δs₁₂ = 284,4·ln(0,125) = 284,4·(-2,079) = -591,3 Дж/кг·К
q₁₂ = T₁·Δs₁₂ = 300·(-591,3) = -177390 Дж/кг
l₁₂ = q₁₂ = -177390 Дж/кг
Процесс 2-3: Изобарный подвод тепла
q₂₃ = 620000 Дж/кг (по условию)
Δu₂₃ = Cᵥ_см·(T₃ – T₂) = 745,6·(902 – 300)
Δu₂₃ = 745,6·602 = 448851 Дж/кг
Δh₂₃ = Cₚ_см·(T₃ – T₂) = 1030·602 = 620060 Дж/кг
Δs₂₃ = Cₚ_см·ln(T₃/T₂) = 1030·ln(902/300)
Δs₂₃ = 1030·ln(3,0067) = 1030·1,1007 = 1133,7 Дж/кг·К
l₂₃ = p₂·(v₃ – v₂) = 800000·(0,3207 – 0,1067)
l₂₃ = 800000·0,214 = 171200 Дж/кг
Процесс 3-4: Адиабатное расширение
q₃₄ = 0 (адиабатный процесс)
Δu₃₄ = Cᵥ_см·(T₄ – T₃) = 745,6·(487,3 – 902)
Δu₃₄ = 745,6·(-414,7) = -309200 Дж/кг
Δh₃₄ = Cₚ_см·(T₄ – T₃) = 1030·(-414,7) = -427141 Дж/кг
Δs₃₄ = 0 (обратимый адиабатный процесс)
l₃₄ = -Δu₃₄ = 309200 Дж/кг
Процесс 4-1: Изобарный отвод тепла
Δu₄₁ = Cᵥ_см·(T₁ – T₄) = 745,6·(300 – 487,3)
Δu₄₁ = 745,6·(-187,3) = -139651 Дж/кг
Δh₄₁ = Cₚ_см·(T₁ – T₄) = 1030·(-187,3) = -192919 Дж/кг
Δs₄₁ = Cₚ_см·ln(T₁/T₄) = 1030·ln(300/487,3)
Δs₄₁ = 1030·ln(0,6158) = 1030·(-0,4849) = -499,4 Дж/кг·К
q₄₁ = Cₚ_см·(T₁ – T₄) = -192919 Дж/кг
l₄₁ = p₁·(v₁ – v₄) = 100000·(0,8532 – 1,386)
l₄₁ = 100000·(-0,5328) = -53280 Дж/кг
Сводная таблица процессов
Таблица 1: Характеристики процессов цикла
| Процесс | Δu, Дж/кг | Δh, Дж/кг | Δs, Дж/кг·К | q, Дж/кг | l, Дж/кг |
|---|---|---|---|---|---|
| 1-2 (изотермический) | 0 | 0 | -591,3 | -177390 | -177390 |
| 2-3 (изобарный) | 448851 | 620060 | 1133,7 | 620000 | 171200 |
| 3-4 (адиабатный) | -309200 | -427141 | 0 | 0 | 309200 |
| 4-1 (изобарный) | -139651 | -192919 | -499,4 | -192919 | -53280 |
Энергетические характеристики цикла
Подведённая теплота
620 кДж/кг
q_подв = q₂₃ = 620000 Дж/кг
Отведённая теплота
370,3 кДж/кг
q_отв = |q₁₂| + |q₄₁| = 177390 + 192919
Полезная работа цикла
249,7 кДж/кг
l_ц = Σlᵢ = -177390 + 171200 + 309200 – 53280
Термический КПД цикла
40,3%
η_t = (q_подв – q_отв)/q_подв
КПД цикла Карно
66,7%
η_Карно = (T_max – T_min)/T_max
Относительный КПД
60,4%
η_отн = η_t / η_Карно
Проверка по первому закону термодинамики:
ΣΔu_цикла = 0 + 448851 – 309200 – 139651 = 0 ✓
ΣΔh_цикла = 0 + 620060 – 427141 – 192919 = 0 ✓
Σl_цикла = 249730 Дж/кг
η_t = 249730/620000 = 0,4028 = 40,3% ✓
ΣΔu_цикла = 0 + 448851 – 309200 – 139651 = 0 ✓
ΣΔh_цикла = 0 + 620060 – 427141 – 192919 = 0 ✓
Σl_цикла = 249730 Дж/кг
η_t = 249730/620000 = 0,4028 = 40,3% ✓
6. Определение энтропии относительно нормальных условий
Нормальные условия: T₀ = 273 К, p₀ = 0,101 МПа = 101000 Па
v₀ = (R_см·T₀)/p₀ = (284,4·273)/101000 = 0,769 м³/кг
S₁ = Cₚ_см·ln(T₁/T₀) – R_см·ln(p₁/p₀)
S₁ = 1030·ln(300/273) – 284,4·ln(0,1/0,101)
S₁ = 1030·0,0953 – 284,4·(-0,00995) = 98,16 + 2,83 = 101,0 Дж/кг·К
S₁ = 1030·0,0953 – 284,4·(-0,00995) = 98,16 + 2,83 = 101,0 Дж/кг·К
S₂ = S₁ + Δs₁₂ = 101,0 – 591,3 = -490,3 Дж/кг·К
S₃ = S₂ + Δs₂₃ = -490,3 + 1133,7 = 643,4 Дж/кг·К
S₄ = S₃ + Δs₃₄ = 643,4 + 0 = 643,4 Дж/кг·К
Итоговая таблица параметров
Таблица 2: Параметры в характерных точках цикла
| Точка | p, МПа | T, К | v, м³/кг | u, кДж/кг | h, кДж/кг | s, Дж/кг·К |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,1 | 300 | 0,8532 | 0* | 0* | 101,0 |
| 2 | 0,8 | 300 | 0,1067 | 0 | 0 | -490,3 |
| 3 | 0,8 | 902 | 0,3207 | 448,9 | 620,1 | 643,4 |
| 4 | 0,1 | 487,3 | 1,386 | 139,7 | 192,9 | 643,4 |
*Значения u и h в точке 1 приняты за 0 относительно начала отсчета
Не подходит эта задача? Посмотрите другие:
