Задача 249

Условие задачи:
Тепло горячей воды, движущейся внутри круглой горизонтальной трубы, передается воздуху, омывающему трубу по наружной поверхности свободным потоком. Требуется определить коэффициенты теплоотдачи водой внутренней поверхности трубы и наружной ее поверхности к воздуху, а также коэффициент теплопередачи от воды к воздуху.
Внутренний диаметр трубы d₁ = 30 мм, толщина стенки трубы δ = 3,0 мм; длина трубы l = 1,4 м; материал трубы — красная медь с λ = 378 Вт/(м·К); средняя скорость воды в трубе w = 0,35 м/с; средняя температура воды в трубе t_ж1 = 80°C, температура воздуха t_ж2 = 20°C.

Шаг 1: Физические характеристики воды при 80°C
По справочным данным:
• Коэффициент теплопроводности: λ₁ = 0,669 Вт/(м·К)
• Кинематическая вязкость: ν₁ = 0,365×10⁻⁶ м²/с
• Критерий Прандтля: Pr₁ = 2,23
• При температуре стенки (примерно 60-70°C): Pr_ст1 = 7,03

Шаг 2: Расчет теплоотдачи от воды к стенке трубы (вынужденная конвекция)
Критерий Рейнольдса:
Re = (w·d₁) / ν₁ = (0,35×0,03) / (0,365×10⁻⁶) = 0,0105 / 3,65×10⁻⁷ = 28 767
Режим течения: турбулентный (Re > 10 000)

Поправка на начальный участок:
l/d₁ = 1,4 / 0,03 = 46,7
ε_l = 1,009 (близко к 1, так как l/d > 50)

Критерий Нуссельта:
Nu₁ = 0,021·Re^0,8·Pr₁^0,43·(Pr₁/Pr_ст1)^0,25·ε_l
= 0,021×(28 767)^0,8×2,23^0,43×(2,23/7,03)^0,25×1,009
= 0,021×3 920×1,444×0,746×1,009 ≈ 82,9

Коэффициент теплоотдачи:
α₁ = Nu₁·λ₁ / d₁ = 82,9×0,669 / 0,03 ≈ 1 847 Вт/(м²·К)

Шаг 3: Физические характеристики воздуха при 20°C
По справочным данным:
• Коэффициент теплопроводности: λ₂ = 2,59×10⁻² Вт/(м·К)
• Кинематическая вязкость: ν₂ = 1,506×10⁻⁵ м²/с
• Критерий Прандтля: Pr₂ = 0,703
• Коэффициент температурного расширения: β = 1/(t_ж2+273) = 1/293 ≈ 0,00341 K⁻¹

Шаг 4: Расчет теплоотдачи от стенки трубы к воздуху (свободная конвекция)
Наружный диаметр трубы:
d_н = d₁ + 2δ = 0,03 + 2×0,003 = 0,036 м

Критерий Грасгофа:
Gr = g·β·ΔT·d_н³ / ν₂²
ΔT = t_ст – t_ж2 ≈ 60°C (оценка)
Gr = 9,81×0,00341×60×(0,036)³ / (1,506×10⁻⁵)²
= 9,81×0,00341×60×4,6656×10⁻⁵ / 2,268×10⁻¹⁰
= 9,81×0,00341×60×4,6656×10⁻⁵ / 2,268×10⁻¹⁰ ≈ 411 700

Произведение Gr·Pr:
Gr·Pr = 411 700×0,703 ≈ 289 400
Режим: ламинарный (10⁴ < Gr·Pr < 10⁹)

Критерий Нуссельта для горизонтальной трубы:
Nu₂ = 0,47·(Gr·Pr)^0,25 = 0,47×(289 400)^0,25
= 0,47×23,2 ≈ 10,9

Коэффициент теплоотдачи:
α₂ = Nu₂·λ₂ / d_н = 10,9×0,0259 / 0,036 ≈ 7,85 Вт/(м²·К)

Шаг 5: Расчет коэффициента теплопередачи (цилиндрическая стенка)
Линейный коэффициент теплопередачи:
K_l = 1 / [1/(α₁·π·d₁) + 1/(2πλ)·ln(d_н/d₁) + 1/(α₂·π·d_н)]

Термические сопротивления:
1. Внутреннее: R₁ = 1/(α₁·π·d₁) = 1/(1847×3,14×0,03) = 1/174,0 ≈ 0,00575 м·К/Вт
2. Стенка: R_ст = 1/(2πλ)·ln(d_н/d₁) = 1/(2×3,14×378)·ln(0,036/0,03)
= 1/2373,84·ln(1,2) = 0,000421×0,1823 ≈ 7,68×10⁻⁵ м·К/Вт
3. Наружное: R₂ = 1/(α₂·π·d_н) = 1/(7,85×3,14×0,036) = 1/0,887 ≈ 1,127 м·К/Вт

Суммарное сопротивление: R_Σ = 0,00575 + 0,0000768 + 1,127 ≈ 1,1328 м·К/Вт

Линейный коэффициент теплопередачи: K_l = 1/R_Σ ≈ 0,8827 Вт/(м·К)

Коэффициент теплопередачи, отнесенный к наружной поверхности:
K = K_l / (π·d_н) = 0,8827 / (3,14×0,036) ≈ 7,81 Вт/(м²·К)

Ответ:
1. Коэффициент теплоотдачи от воды к внутренней поверхности трубы: α₁ ≈ 1 850 Вт/(м²·К)
2. Коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности трубы к воздуху: α₂ ≈ 7,85 Вт/(м²·К)
3. Коэффициент теплопередачи от воды к воздуху: K ≈ 7,8 Вт/(м²·К)

Анализ результатов:
1. Большая разница в коэффициентах теплоотдачи: α₁/α₂ ≈ 236 раз. Это характерно для сравнения вынужденной конвекции жидкости со свободной конвекцией газа.

2. Определяющее сопротивление: Термическое сопротивление со стороны воздуха составляет 99,5% от общего, то есть процесс теплопередачи лимитируется теплоотдачей к воздуху.

3. Влияние материала трубы: Сопротивление медной стенки ничтожно мало (0,007% от общего) благодаря высокой теплопроводности меди.

4. Практический вывод: Для интенсификации теплообмена нужно увеличивать α₂ (например, принудительным обдувом, оребрением наружной поверхности).

Температурный профиль:
• Температура воды: 80°C
• Температура внутренней поверхности трубы: ≈ 79,8°C
• Температура наружной поверхности трубы: ≈ 79,7°C
• Температура воздуха: 20°C
• Основной перепад температуры происходит в пристеночном слое воздуха

Полезная информация:
Критерии подобия в теплообмене:
1. Re (Рейнольдса): характеризует режим течения жидкости
2. Pr (Прандтля): соотношение толщин динамического и температурного пограничных слоев
3. Nu (Нуссельта): характеризует интенсивность конвективного теплообмена
4. Gr (Грасгофа): характеризует свободную конвекцию

Практическое применение:
1. Теплообменное оборудование: Расчет радиаторов, теплообменников, систем охлаждения.

2. Энергетика: Определение тепловых потерь в трубопроводах.

3. Строительная физика: Расчет теплоотдачи от систем отопления.

4. Интенсификация теплообмена: При α₂ << α₁ эффективно оребрение снаружи или принудительный обдув.

5. Теплоизоляция: Когда нужно уменьшить теплопотери, изоляцию наносят снаружи.

Примечание:
• Все расчеты выполнены для стационарного режима
• Физические свойства взяты по средней температуре соответствующей среды
• Температура стенки оценивалась приближенно для определения Pr_ст
• В реальных условиях может потребоваться итерационный расчет для уточнения температур