Задача 251

Условие задачи:
Стенка опытной установки покрыта снаружи изоляционным слоем толщиной δ_из = 260 мм. Она обогревается изнутри так, что на наружней поверхности поддерживается температура t₂ = 35°C. Для изучения тепловых потерь в изоляцию на глубину δ_т = 50 мм от наружней поверхности заделана термопара, которая показала температуру t_т = 70°C. Определить температуру на поверхности контакта стенки и изоляции, если λ_из = 0,16 Вт/(м·К).

Шаг 1: Понимание геометрии задачи
У нас есть изоляционный слой толщиной 260 мм:
• Наружная поверхность (холодная): t₂ = 35°C
• Термопара установлена на расстоянии 50 мм от наружной поверхности
• Температура в точке установки термопары: t_т = 70°C
• Нужно найти температуру на внутренней поверхности изоляции (граница со стенкой): t_x

Шаг 2: Определяем плотность теплового потока через изоляцию
По закону Фурье для теплопроводности:
q = λ · Δt / δ

Для участка от термопары до наружной поверхности:
Δt = t_т – t₂ = 70 – 35 = 35°C
δ = 0,050 м (50 мм)
λ = 0,16 Вт/(м·К)

q = (0,16 / 0,050) × 35 = 3,2 × 35 = 112 Вт/м²

Шаг 3: Определяем температуру на границе стенка-изоляция
Тепловой поток через всю изоляцию постоянен (стационарный режим).

Для участка от внутренней поверхности изоляции до наружной:
q = λ · (t_x – t₂) / δ_из

Отсюда:
t_x = t₂ + q · δ_из / λ
t_x = 35 + 112 × 0,260 / 0,16

Вычисляем:
112 × 0,260 = 29,12
29,12 / 0,16 = 182
t_x = 35 + 182 = 217°C

Ответ:
Температура на поверхности контакта стенки и изоляции составляет 217°C.

Проверка через участок от t_x до t_т:
Расстояние от внутренней поверхности до термопары: 260 – 50 = 210 мм = 0,210 м
Δt = t_x – t_т = 217 – 70 = 147°C
q = λ · Δt / δ = 0,16 × 147 / 0,210 ≈ 112 Вт/м²
Результат совпадает с ранее найденным значением q.

График распределения температуры в изоляции:
• Внутренняя поверхность (граница со стенкой): t_x = 217°C
• На расстоянии 210 мм от внутренней поверхности (место термопары): t_т = 70°C
• Наружная поверхность: t₂ = 35°C
• Распределение температуры — линейное (поскольку λ = const)

Полезная информация:
Физический смысл задачи:
1. Стационарная теплопередача: При постоянных условиях тепловой поток через все сечения изоляции одинаков.

2. Теплоизоляционные материалы: λ = 0,16 Вт/(м·К) — типичное значение для теплоизоляционных материалов (минеральная вата, пенопласт и др.).

3. Температурный градиент: В изоляции наблюдается значительный перепад температуры: 182°C на толщине 260 мм.

4. Практическое применение: Такие расчеты используются для:
• Определения тепловых потерь через ограждающие конструкции
• Проверки эффективности теплоизоляции
• Обеспечения безопасных температур на поверхностях
• Проектирования теплоизоляции промышленного оборудования

5. Контроль качества изоляции: Измерение температуры в нескольких точках позволяет оценить эффективность теплоизоляции и выявить возможные дефекты.

Примечание:
• Закон Фурье: q = -λ·(dt/dx) (для одномерного стационарного теплового потока)
• В однородном материале при постоянном λ распределение температуры линейное
• Тепловой поток q измеряется в Вт/м²
• Коэффициент теплопроводности λ характеризует способность материала проводить тепло