Задача 265
Условие задачи: Воздух с начальными параметрами p1=0,3 МПа и t1=40°C вытекает через сужающееся сопло во внешнюю среду, в которой давление постоянно и равно pср=0,12 МПа. Считая воздух идеальным газом с показателем адиабаты k=1,4; определить давление, скорость, температуру и плотность воздуха в выходном сечении сопла, если скоростной коэффициент φ=0,95.Определить также площадь выходного сечения, необходимую для обеспечения расхода воздуха, равного G=3 кг/с. Изменится ли расход воздуха, если давление внешней среды снизить до pср!=0,05 МПа?
Течение воздуха через сужающееся сопло
Расчёт параметров газа при критическом истечении
Исходные данные
| Параметр | Обозначение | Значение | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Начальное давление | p₁ | 0,3 | МПа |
| Начальная температура | t₁ | 40 | °C |
| Давление внешней среды | pср | 0,12 | МПа |
| Показатель адиабаты | k | 1,4 | – |
| Скоростной коэффициент | φ | 0,95 | – |
| Расход воздуха | G | 3 | кг/с |
Решение задачи
1. Определение режима течения
Критическое отношение давлений для воздуха (k = 1,4):
βкр = (2/(k+1))k/(k-1) = (2/2,4)1,4/0,4 = 0,528
Соотношение давлений:
pср/p₁ = 0,12/0,3 = 0,4 < 0,528
Вывод: Так как pср/p₁ < βкр, течение является
критическим (скорость равна скорости звука).
критическим (скорость равна скорости звука).
2. Критическое давление на выходе
pкр = βкр · p₁ = 0,528 · 0,3 = 0,1584 МПа
3. Абсолютная температура на входе
T₁ = t₁ + 273 = 40 + 273 = 313 K
4. Удельный объём воздуха на входе
Удельная газовая постоянная для воздуха: R = 287 Дж/(кг·К)
v₁ = (R · T₁) / p₁ = (287 · 313) / (0,3·10⁶) = 0,2994 м³/кг
5. Удельный объём воздуха на выходе
vкр = v₁ · (p₁/pкр)1/k = 0,2994 · (0,3/0,1584)1/1,4
vкр = 0,2994 · 1,578 = 0,4725 м³/кг
6. Температура воздуха на выходе
Tкр = T₁ · (pкр/p₁)(k-1)/k = 313 · (0,528)0,4/1,4
Tкр = 313 · 0,834 = 261,0 K
t₂ = 261,0 – 273 = -12,0 °C
7. Скорость воздуха на выходе
Теоретическая критическая скорость:
wкр теор = √[ (2k/(k+1)) · R · T₁ ] = √[1,1667 · 287 · 313] = 323,7 м/с
С учётом скоростного коэффициента φ = 0,95:
w₂ = φ · wкр теор = 0,95 · 323,7 = 307,5 м/с
8. Плотность воздуха на выходе
ρ₂ = 1 / vкр = 1 / 0,4725 = 2,116 кг/м³
9. Площадь выходного сечения
G = (w₂ · fвых) / vкр ⇒ fвых = (G · vкр) / w₂
fвых = (3 · 0,4725) / 307,5 = 0,004610 м² = 46,10 см²
10. Анализ при pср‘ = 0,05 МПа
Новое соотношение давлений:
pср‘ / p₁ = 0,05 / 0,3 = 0,167 < 0,528
Вывод: Течение остаётся критическим, поэтому давление и скорость на выходе не изменятся,
а следовательно, расход воздуха не изменится и останется равным 3 кг/с.
а следовательно, расход воздуха не изменится и останется равным 3 кг/с.
Результаты расчёта
Давление на выходе
0,1584 МПа
Скорость на выходе
307,5 м/с
(скорость звука)
Температура на выходе
-12,0 °C
(261,0 K)
Плотность на выходе
2,116 кг/м³
Площадь выходного сечения
46,1 см²
(0,00461 м²)
Физическая интерпретация: При критическом истечении скорость газа на выходе из сопла достигает
скорости звука. Дальнейшее понижение давления во внешней среде не влияет на параметры в выходном сечении сопла
— давление там остаётся равным критическому, а расход становится максимально возможным для данных начальных условий.
скорости звука. Дальнейшее понижение давления во внешней среде не влияет на параметры в выходном сечении сопла
— давление там остаётся равным критическому, а расход становится максимально возможным для данных начальных условий.
Примечание: В расчёте воздух принят за идеальный газ с постоянными теплоёмкостями.
Скоросной коэффициент φ = 0,95 учитывает потери в сопле. При расчёте использованы уравнения адиабатного процесса.
Скоросной коэффициент φ = 0,95 учитывает потери в сопле. При расчёте использованы уравнения адиабатного процесса.
Практическое применение: Сужающиеся сопла с критическим истечением широко используются в технике:
в газовых турбинах, ракетных двигателях, пневматических системах, системах вентиляции и кондиционирования.
Их важное свойство — постоянство расхода при изменении противодавления ниже критического значения.
в газовых турбинах, ракетных двигателях, пневматических системах, системах вентиляции и кондиционирования.
Их важное свойство — постоянство расхода при изменении противодавления ниже критического значения.
Не подходит эта задача? Посмотрите другие:
